Matriks

Materi Matriks

1. Transpose Matrik Transpose matriks adalah sebuah matriks baru yang terbentuk dari pertukaran tempat baris dan kolom pada matriks awal. Transpose matriks A dinotasikan dengan A'.

A = At =
B = Bt =
Contoh Soal : Diketahui transpose matriks , maka matriks A adalah… A.
B. C. D. E.

Pembahasan: Cara menyelesaikannya tetap sama yaitu, pertukaran baris dengan kolom. Baris 1 -> kolom 1, baris 2 - > kolom 2 akan menjadi . Sehingga jawabannya adalah: B.

2. Operasi Matrik operasi penjumlahan dua matriks dengan menjumlahkan komponen-komponennya yang seletak. a. Penjumlahan Matrik Sifat komunitatif A + B = B + A Sifat asosiatif (A + B) + C = A + ( B + C) Matrik identitas penjumlahan, yaitu matriks O, sehingga berlaku A + O = O + A = A Invers penjumlahan matriks A adalah –A, sehingga A + (-A) = (-A) + A = O Contoh soal : Diketahui matriks A = dan matriks B = . Tentukan matriks A + B ? Pembahasan: Hasil dari A + B dapat diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A yang seposisi dengan setiap elemen matriks B. A + B = . b. Pengurangan matriks A - B = A + (-B) Contoh : Diketahui matriks A = dan matrik B = tentukan matriks A – B? Pemabahasan : Hasil dari A - B dapat diperoleh dengan mengurangkan setiap elemen matriks A yang seposisi dengan setiap elemen matriks B. A – B = = c.Perkalian matrik
3. Determinan matrik Determinan adalah matrik yang jumlah baris dan kolomnya sama. Determinan ada 2 bagian, yaitu : a. Determinan matriks 2 x 2 A = Contoh soal : Perhatikan matriks A dibawah ini

A =

Pembahasan :

det(B) =
= (1)(4) - (2)(3)

⇔ det(B) = 4 - 6 ⇔ det(B) = -2 b. Determinan matriks 3 x 3 A = Contoh soal : Diketahui sebuah matriks A sebagai berikut: A = Nilai determinan dari matrik A ?

Pembahasan :

det(A) =
det(A) = (1.3.3) + (2.2.2) + (1.3.1) – (2.3.1) – (1.2.1) = (3.3.2) det(A) = 9 + 8 + 3 – 6 - 2 – 18 det(A) = 20 – 26 det(A) = -6

4. Adjoin matriks Adjoin matriks merupakan transpose dari suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor dari elemen-elemen matriks tersebut. a. Adjoin Matriks Adjoin matriks ordo diperoleh dengan mentraspose matriks kofaktor. Misalnya,

Maka, • Minor matriks A adalah

b. Adjoin Matriks Jika kofaktor matriks A adalah

Contoh Soal 1. 2. Pembahasan 1. 2. Berdasarkan penyelesaian pada contoh diatas, diketahui matriks kofaktor dari matriks

.

5. Invers matrik Pada aljabar dibutuhkan operasi dengan invers perkalian untuk memperoleh unsur identitas. Begitu pula pada matriks, jika suatu matriks dikalikan dengan inversnya maka akan memperoleh matriks identitas.

Keterangan : • A‾¹ = Invers Matriks (A) • det (A) = Determinan Matriks (A) • Adj (A) = Adjoin Matriks (A)

contoh soal :

Pembahasan : baris kedua dari kolom pertama dan baris pertama dari kolom kedua dikalikan dengan -1. Hasilnya adalah sebagai berikut.

Selanjutnya, cari determinan matriks Det = (2 ˣ 2 ) – ( 4 ˣ 1) = 12 – 4 = 8 Setelah nilai adjoin dan determinan matriks diketahui. Kemudian masukkan rumus matriks di atas. Hasilnya adalah :

b.Invers matrik 3 x 3

Rumus :

Contoh soal :

A = menentukan kebalikan dari matriks di atas A Pemabahasan :

6. Penyelesaian persamaan dengan cara matriks Persamaan matriks ada dua bagian yaitu : a. Persamaan linear 2 variabel

Contoh soal : Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara matriks. 2x + y = 7 X + 3y = 7 Jawab : Dari persamaan di atas dapat kita susun menjadi bentuk matriks sebagai berikut.

Dengan menggunakan rumus penjelasan persamaan matriks di atas, diperoleh sebagai berikut.

Jadi, diperoleh penyelesaian x = 1 dan y = 2. b. Sistem Persamaan Linear 3 variabel

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut. 2x + y – z = 1 x + y + z = 6 jawaban : Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks sebagai berikut. Misalkan A = , X = , dan B =

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

det A =

det A = 2(3) – 1(0) + (–1)(–3) = 9

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

Dengan demikian, diperoleh : kof(A) =

Oleh karena itu, adj(A) = (kof(A))T. Adj(A) = Jadi, X =

Jadi, diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah {(1, 2, 3)}.